|
در اين مقاله سعي شده است بيان مختصري از بحث گسترده فركتال در سه قسمت آورده شود
اگر بخواهيم از ديد كلي به بحث فركتال نگاه كنيم آن را مي توان به 3 دسته تقسيم بندي كرد :
1- هندسه فركتال : در اين قسمت از ديد رياضي به فركتال نگاه مي شود كه بيشتر مورد توجه رياضي دان ها قرار گرفته اما پايه هاي قسمت هاي بعدي نيز مي باشد ، و تا با عناصر اصلي فركتال و چگونگي ايجاد اين فرم آشنا نشويم نمي توان فرم هاي مختلف و حجم هاي مختلف را شناسايي كرد.
در اين مقاله سعي شده است بيان مختصري از بحث گسترده فركتال در سه قسمت آورده شود
اگر بخواهيم از ديد كلي به بحث فركتال نگاه كنيم آن را مي توان به 3 دسته تقسيم بندي كرد :
1- هندسه فركتال : در اين قسمت از ديد رياضي به فركتال نگاه مي شود كه بيشتر مورد توجه رياضي دان ها قرار گرفته اما پايه هاي قسمت هاي بعدي نيز مي باشد ، و تا با عناصر اصلي فركتال و چگونگي ايجاد اين فرم آشنا نشويم نمي توان فرم هاي مختلف و حجم هاي مختلف را شناسايي كرد.
2- فرم فركتال : قسمت دوم اين مقاله است ، با توجه به اينكه ،محصول هندسه فركتال فرمي است كه دقيقاً آن مشخصه هاي هندسي مربوطه را دارد . در اين بخش فرم هايي همچون فرم هاي درخت ، فرم هاي مندلبرت ، فرمهاي موجود در طبيعت ، ايجاد فرم هاي رندوم (Random fractal) ، خود متشابهي (self similarity) ، فركتال در نقاشي ( آثار نقاشاني چون جكسون پالاك ) و … مورد بررسي قرار خواهد گرفت .
3- حجم فركتال ( فركتال در معماري ) : نتيجه فرم هاي مختلف مي تواند به يك اثر معماري منتج شود لذا در اين بخش حجم هاي فركتالي و آثار معماري مطرح مي شود .
-------
اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه بسيار جالب است. با كمي دقت به اطراف خود، مي توان بسياري از اين اشكال را يافت. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و حتي مي توان از اين هم فراتر رفت : سطح كره ماه ، منظومه شمسي و ستارگان .
البته در بخش فرم هاي فركتال اين موضوع بيشتر مشهود است به طوري كه بسياري از فرمهاي خلقت داراي ساختاري فركتال هستند .
اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نيز نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي می کنند.
قسمت اول : فركتال از منظر هندسي
هندسه فرکتالي يا هندسه فرکتال ها پديده ايست که چندي پيش پا به دنياي رياضيات گذاشت.
واژه فرکتال در سال 1976 توسط رياضيدان لهستاني به نام بنوئيت مندلبرات وارد دنياي رياضيات شد.
او در سال 1987 پرفسوري خود را در رشته رياضيات گرفت.
مندلبرات وقتي که بر روي تحقيقي پيرامون طول سواحل انگليس مطالعه مي نمود به اين نتيجه رسيد که هر گاه با مقياس بزرگ اين طول اندازه گرفته شود بيشتر از زماني است که مقياس کوچکتر باشد.
از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتين fractus يا fractum (به معني شکسته ) گرفت تا بر ماهيت قطعه قطعه شونده كه يكي از مشخصه هاي اصلي اين فرم است ،تاکيد داشته باشد .
فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصويب کرده و همچنين براي واژه فرکتالي واژه برخالي را تصويب کرده است.
واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد.
اما در هندسه :
فرکتال از ديد هندسي به شيئي گويند که داراي سه ويژگي زير باشد:
1-اول اينکه داراي خاصيت خود متشابهي باشد يا به تعبير ديگر self-similar باشد.
2-در مقياس خرد بسيار پيچيده باشد.
3-بعد آن يك عدد صحيح نباشد ( مثلاً 1.5 ).
براي درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسي ، بد نيست نمونه اي كه شايد تا كنون با آن برخورد كرده باشيد مطرح شود :
تصوير بالا ( يك كبوتر ) يك فرم هندسي است كه دقيقاً با تعاريفي كه در تعريف فركتال بيان شد، منطبق است يعني هم داراي خاصيت خود متشابهي و پيچيدگي در مقياس خرد و نيز عدم داشتن بعد صحيح . تصوير بالا داراي بعدي بين عدد 2 و 3 است.
حال به بررسي هر يك در زير پرداخته شده :
خاصيت خود متشابهي فرکتا لها
شيئي را داراي خاصيت خود متشابهي مي گوييم: هر گاه قسمت هايي از آن با يك مقياس معلوم ، يك نمونه از كل شيئي باشد.
ساده ترين مثال براي يك شيئ خود متشابه در طبيعت گل كلم است كه هر قطعه‌ي كوچك گل كلم متشابه قطعه بزرگي از آن است .
همين طور درخت كاج يك شيئ خود متشابه است ،چرا كه هر يك از شاخه هاي آن خيلي شبيه يك درخت كاج است ولي در مقياس بسيار كوچكتر .همچنين در مورد برگ سرخس نيز چنين خاصيتي وجود دارد.
رشته كوه ها ، پشته هاي ابر ، مسير رودخانه ها و خطوط ساحلي نيز همگي مثال‌ها‌يي از يك ساختمان خود متشابه هستند.
در تصوير سمت راست بزرگ شده دايره تصوير سمت چپ ديده مي شود
نمونه ای از خود متشابهي در شكل زير نیز ديده مي شود :
پيچيدگي در مقياس خرد
در اين بخش نرم افزار Fractal Explorer ارائه مي شود كه مي توانيد آن را دانلود كنيد. در اين نرم افزار مدل هاي آماده از فرم هاي مندلبورت نيز وجود دارد كه داراي سيستم پيچيده اي در مقياس خرد است .
توضيح بيشتر اين نرم افزار در بخش دوم ( فرمهاي فركتال) ارائه خواهد شد. در اينجا فقط اگر شما حالت هاي پيش فرض آن را امتحان كنيد اين پيچيدگي مشخص است.
برای دریافت نرم افزار Fractal Explorer اینجا کلیک کنید
عدم بعدصحيح
اين بخش در فركتال ها بسيار مهم است به طوري كه خيلي از فرمها با اين مشخصه ، از فرم هايي با هندسه اقليدسي جدا مي شوند.
- محاسبه بعد فرکتال ها:
اگر بگوييم بعد خط ، برابر يک باشد
و نيز بعد صفحه ، برابر دو باشد .
همچنن بعد فضا با عدد سه معرفي شود
اما فرکتالها بر خلاف همه ي اينها بعد صحيح ندارند. بعد فرکتالها يک عدد کسري ميباشد
وقتي که گفته ميشود بعد يک فرکتال 1.2 مي باشد اين بدين معني است از خط پيچيده تر و از صفحه سادتر است.
محاسبه اين بعد از يك سري فرمول هاي لگاريتمي بدست مي آيد كه بررسي آن از حوصله اين بحث خارج است. در اشكال زير تنها به عدد بدست آمده اشاره مي شود .
شکل روبه رو يکي از نمونه هاي مشهور فرکتال ها است. که به خم وان کخ شهرت دارد.
بعد بدست آمده برابر 1.261859 مي باشد
خم وان کخ با بعد 1.2
مجموعه کانتور با بعد 0.630929
فرکتالي با بعد 1.58496
در پايين از كار هاي لوكربوزيه كه محاسبه ابعاد حالت هاي زير(از چپ به راست ) آمده است . همانطور كه ديده مي شود شكل سمت چپ داراي بعد بيشتري نسبت به شكل سمت راست است .
D(13-26)=(log300-log104)/(log26-log13)=1.528;
D(26-52)=(log726-log300)/(log52-log26)=1.275;
D(52-104)=(log1604-log726)/(log104-log52)=1.144
اما در عين پيچيدگي كه فرم هاي فركتال دارند نبايد فراموش كرد كه فركتال يك هندسه است.و از انجام محاسبات هندسي بدست مي آيد . اين بخش را بانرم افزاري در ذيل اين مورد به پايان مي برم .
برای دریافت نرم افزار IFSRandom.exe اینجا کلیک کنید
در اين نرم افزار كه بسيار ساده و داراي يك محاسبه منطقي است پارامتر هاي r,s,teta,e,f در يك ماتريسي قرار گرفته اند كه با تغيير هريك فرم خاصي را ايجاد مي كند .
شرح اين پارامتر ها از حوصلۀ بحث خارج است و تنها به نتيجه كار مي پردازيم .
براي مثال پس از دانلود نرم افزار دكمه Run را فشار دهيد سپس تغييراتي كه من در رديف T4انجام داده ام در هر مرحله انجام دهيد.
به نتيجه جالبي مي رسيد و اينكه بسياري از فرمهارا مي توان با تغيير اين پارامتر ها رسم نمود.
به نقل از :
سید محسن قندی
