پاسخ: ۵
لم: در هر چهار ضلعی محدب مجموع طول قطرها از مجموع طول دو ضلع روبرو بيشتر است.
با نوشتن نامساوی مثلث برای مثلث های ABI و CDI مشاهده می کنيم که: AD + BC > AB + CD
ادعا می کنيم اگر مجموع فواصل ۹ زوج نقطه بيشترين مقدار شود، بايد هر دو مسيری بين نقاط ابتدايی و انتهايی همديگر را قطع کنند. زيرا اگر ميل نقطه A به B و ميل نقطه C به D برود و AB و CD برخورد نداشته باشند، طبق لم بالا با بردن ميل نقطه A به D و ميل نقطه C به B مسير بيشتری طی می شود. حال به ميل نقطه ب در صورت سوال نگاه کنيد. اين ميل تنها به نقطه ای ۷ می تواند منتقل شود تا با تمام مسيرها برخورد داشته باشد. (اگر به اين نقطه نرود با مسيری که به نقطه ۷ می رسد برخورد ندارد.) پس نقطه ب به نقطه ۷ می رود.

به همين شکل شمال غربی ترين ميل نيز بايد به نقطه ۳ برود. به همين طريق می توان بررسی کرد که ميل های نقاط ج، بالا، پايين و سمت راست الف نيز بايد به ترتيب به نقاط ۶ ،۲ ،۴ و ۸ بروند تا با تمام خطوط ديگر برخورد کند اما ميل های روی قطر مربع باقی می مانند. اين ميل ها به هر ترتيبی به نقط ۵ ،۱ و ۹ منتقل شوند مجموع جابه جايی ثابت می ماند. بنابراين برای جای گذاری ميل نقطه الف سه حالت وجود دارد و به طور يکتا مشخص نمی شود.